Optimización y Rebalanceo de Portfolios Sistemáticos I

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CRITERIOS DIANA O FUNCIONES OBJETIVO.
Capítulo aparte merece el análisis de los distintos criterios de optimización. Cada criterio o función objetivo debe ser consecuente con los inputs del modelo o planteamientos generales a los que responde la construcción del portfolio. Por ejemplo, para un inversor tipo con intereses cuadráticos y que quiera maximizar la función de utilidad del modelo M-V, el criterio para balancear la cartera será el ratio de Sharpe. Para otro con menor aversión al riesgo, un horizonte temporal mayor y que no quiera reinvertir el beneficio utilizaremos un ratio que priorice el retorno (como el Omega) y un enfoque de período único. Si el inversor es aún más agresivo y busca componer muy deprisa reinvirtiendo el beneficio en un horizonte temporal indefinido nos iríamos al MMG multiperíodo con política de rebalanceos trimestral o mensual.

En este punto conviene aclarar un concepto: un enfoque multiperíodo implica que el beneficio se reinvierte a perpetuidad y que los rebalanceos se hacen con el capital generado al final cada periodo. Por el contrario, en un enfoque de período único el inversor hace retiradas periódicas o el fondo reparte el beneficio obtenido como dividendo. Se hacen balanceos para mantener el portfolio alineado con los objetivos iniciales del programa (por ej. en términos de riesgo o diversificación), pero no con el propósito de componer el retorno.

Veamos pues los principales criterios a utilizar:

a) Optimización M-V
Siendo el Retorno Esperado (µp), la varianza (σ2p) y el activo libre de riesgo (Rf) el problema de optimización consistiría, como hemos visto, en maximizar el ratio de Sharpe (SRp), de tal modo que:


También se puede obtener un portfolio eficiente minimizando la varianza  (σ2p) para un nivel de retorno esperado (o a la inversa):


b) Optimización GMM
Para optimizar la media geométrica partiendo de la media aritmética (µp)  y la varianza (σ2p) de las rentabilidades empíricas en series históricas podemos emplear la siguiente expresión logarítmica:



Bernstein y Wilkinson24 proponen la siguiente fórmula simplificada para la media geométrica, aunque es una aproximación con resultados más imprecisos:


c) Optimización MVG (Mínima Varianza Global)
La cartera MVG es la que presenta la varianza mínima posible, con independencia der retorno esperado. Esto implica resolver el siguiente problema de optimización:

Siendo W el vector de los pesos asignados a cada activo y la matriz de covarianzas.

 

d) Optimización DR (Diversification Ratio)
En este modelo establecemos como criterio de asignación la máxima diversificación global de la cartera. Para ello seguimos el enfoque de Yves Choueifaty25 que propone el Diversification Ratio (DR) como estimador que mide la volatilidad media ponderada por tamaño frente a la volatilidad general de la cartera.

Siendo w la matriz de ponderaciones, σ el vector de volatilidades y w'Ωw el producto de la matriz de covarianzas y ponderaciones.

Por tanto, el problema de optimización es:

 

e) Optimización del riesgo máximo en términos de VaR y CVaR
En general minimizar cualquier función del riesgo F(r) de un portfolio es un problema de optimización con la siguiente   estructura:

El VaR (valor en riesgo) y el CVaR (valor en riesgo condicional) son dos de los estimadores del riesgo más empelados por las instituciones financieras. El VaR puede definirse como la pérdida más alta que puede ocurrir con un determinado nivel de confianza. Por ejemplo, si VaR = 500€ y el intervalo de confianza es del 0,95, entonces tenemos una probabilidad del 95% de no exceder una pérdida de 500€ en el período al que hace referencia el VaR (datos diarios, semanales, mensuales, etc.)

De este modo la expresión a minimizar sería:

VaR = min {r ∈ R : P(-R > r) ≤ 1-α}

Siendo α el intervalo de confianza, R el retorno de la cartera y -R la pérdida.

En la práctica, a partir de la serie del retorno el VaR es el valor situado en el percentil α de la serie: 

VaRα = Percentil (α, R)

Para una distribución normal del retorno, el CVaR26 podemos definirlo como:

CVaRα  = [-R | R ≤ -VaRα], donde R ∈ (µp, σ2p)

O lo que es lo mismo, la media ponderada de los valores situados en la cola derecha de la distribución a partir del valor de percentil (α, R).

 


f) Optimización del ratio de Rachev26
Es una medida tipo R/R en la que se compara la cola derecha de la distribución del retorno (Expected Tail Return) con la cola izquierda (Expected Tail Loss) en un intervalo de confianza similar al del VAR (0.05 < α > 0.95). Por tanto la expresión a maximizar sería:

 

g) Optimización del ratio Omega27
Se trata también de un ratio tipo R/R que se define como la probabilidad de las ganancias obtenidas respecto de las pérdidas a partir de un nivel que se considera como parámetro. Es decir se divide la distribución acumulada del retorno F(x) en dos tramos R < r > R de tal modo que:

Dónde r es el umbral de rentabilidad mínima exigida para cada operación o período (días, semanas, meses) en la serie de retornos. En muchos casos este parámetro queda fijo, con un valor de r=0.01.

Una de las ventajas28 de balancear con este ratio es que variando el umbral de rentabilidad mínima exigida en cada operación o período en función del ratio podemos conseguir resultados equivalentes a los que se obtienen con otros ratios.

La optimización del ratio Ω es un problema de cómputo no lineal, por tanto las mejores herramientas de optimización para resolver esta tarea son las de tipo estocástico y evolutivo.


h) Optimización del ratio de Calmar29
Este ratio, conocido también como Drawdown Ratio, pertenece a la familia R/R y suele ser muy utilizado por la industria Hedge Fund y gestores alternativos. Se define como el cociente entre el retorno anualizado (AROR) y el DD máximo de un activo:

Podemos optimizar un portfolio en términos de DD máximo para un nivel mínimo de rentabilidad esperada o realizar la asignación maximizando directamente el ratio.


(Continuará...)

 

Acerca del autor
Andrés A. García es Doctor en Filosofía, especializado en Lógica y Filosofía de la Ciencia, Doctor en Ciencias de la Educación y Experto en Nuevas Tecnologías. Durante más de 20 años ha compaginado la enseñanza y la operativa por cuenta propia, centrándose en la última década en el desarrollo de algoritmos automáticos de trading en los mercados de futuros estadounidenses y europeos. Es propietario de una de las páginas web más conocidas y visitadas en España sobre trading de sistemas y temas afines: TradingSys.org. También es autor de un libro sobre “Futuros de renta fija y operativa intradiaria” (2009), de numerosos artículos sobre mercados financieros en diversas webs y publicaciones especializadas y ha impartido conferencias en varias universidades. Actualmente es profesor del curso de postgrado "Sistemas y modelos cuantitativos de  trading algorítmico" organizado por la Universidad Politécnica de Madrid. Desde 2010 es cofundador y socio de la empresa Optimal Quant Management, que ofrece formación online avanzada y de alta calidad sobre trading de sistemas. Así mismo es socio y cofundador de la empresa  ATP Capital Management LLC  (2013), un CTA (Commodity Trading Advisor) que opera en EEUU.

 

Referencias

1 Benjamin B., Koudiraty A., Darolles  y S. Roncalli (2011), “Portfolio Allocation of Hedge Funds”,  Lyxor White Paper (5).
2 Markowitz H. (1952), “Portfolio Selection”, Journal of Finance (7) pp. 77-91.
3 Sharpe W. (1963) “A Simplified Model for Portfolio Analysis”, Management Science, (8) pp. 277-293. Véase también (2007):  “Expected Utility Asset Allocation”, Financial Analysts Journal (63) pp. 18-30.
4 Adam A., Houkari M. and Laurent J.P. (2008), “Spectral Risk Measures and Portfolio Selection”, Journal of Banking and Finance (32) pp. 1870-1882.
5 Buraschi A., Kosowski R. and Trojani F. (2010), “When There Is No Place to Hide: Correlation Risk and the Cross-Section of Hedge Fund Returns”, Review of Financial Studies (27) pp. 581-616.
6 J. G. Kallberg y W. T. Ziemba (1983) “Comparison of Alternative Utility Functions in Portfolio Selection Problems”, Management Science, vol. 29, pp. 1257 – 1276.
7 Jobson, J.D., and Korkie, B. (1980) “Estimation for Markowitz efficient portfolios”, Journal of the American Statistical Association, Vol. 75, No. 371, pp. 544-554.
8 Hirschberger, M., Qi Y. y Steuer R.E. (2008) “Large-Scale MV Efficient Frontier Computation via a Procedure of Parametric Quadratic Programming” Journal Decision Support Systems (51) pp. 250-255.
9 H. Letane, “Criteria for Choice Among Risky Ventures”, Journal of Political Economy (1959) pp. 144-155.
10 Vince, R. (1990) Portfolio Management Formulas: Mathematical Trading Methods for the Futures, Op-tions, and Stock Markets, Wiley & Sons.
11 Latane, H. (1959). “Criteria for Choice Among Risky Ventures.” Journal of Political Economy (67) pp. 144-155.
12 Breiman, L. (1961). “Optimal Gambling Systems for Favorable Games.” Fourth Berkeley Symposium on Probability and Statistics (1) pp. 65-78.
13 Hakansson, N. (1971). “Capital Growth and the Mean-Variance Approach to Portfolio Selection.” Journal of Financial and Quantitative Analysis (6) pp. 517-557.
14 Aucamp, D. (1993) “On the extensive number of plays to achieve superior performance with the geometric mean strategy”,  Management Science 39 (9) pp. 1163-1172.
15 Véase por ejemplo: Bernstein, W.  y David W. (1997). “Diversification, Rebalancing, and the Geometric Mean Frontier.” Unpublished manuscript. http://www.effisols.com/basics/rebal.pdf. Estos autores desarrollaron la aplicación MVO Plus (http://effisols.com/mvoplus/index.htm) que puede calcular la frontera eficiente para los modelos MV y GGM y hacer rebalanceos multiperiodo.
16 Samuelson, P. (1963). “Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers.” Scientia, 1-6.
17 Markowitz, H.(1959). Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. John Wiley & Sons.
18 Roy, A. (1952). Safety first and the holding of assets. Econometrica 20 (3) pp. 431-449.
19 J. Estrada (2010) “Geometric mean maximization: an overlooked portfolio approach?” Journal of Inves-ting, vol. 19, no. 4, pp. 134–147. Este artículo es una excelente revisión de los modelos MV y GGM, situando el debate entre ambos planteamientos en su perspectiva histórica.
20 SRM son las siglas de Sharpe Ratio Maximization, ya que se puede demostrar formalmente que el portfolio situado en la frontera con mejores propiedades es aquel que maximiza el ratio de Sharpe.
21 GMM (Geometric Mean Maximization).
22 Pfaff B. (2016) Financial Risk Modelling and Portfolio Optimisation with R, Wiley, Nueva York.
23 Sobre este tema véase por ejemplo Patrick Burns y su plataforma: Portfolio Probe. http://www.portfolioprobe.com/about/random-portfolios-in-finance/
24 Bernstein, WJ. and Wilkinson, D., "Diversification, Rebalancing and the Geometric Mean Frontier", research manuscript (November 1997).
25 Choueifaty, Yves, and Yves Coignard. “Toward Maximum Diversification.” Journal of Portfolio Management, Vol. 34, No. 4 (2008), pp. 40–51.
26 Rachev, S., C. Menn, F. Fabozzi (2005) Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing.  New Jersey: JohnWiley Finance.
27 Keating C. y Shadwick W. (2002) “A Universal Performance Measure”, Finance Development Centre Limited, Londres.
28 Véase mi artículo: “Rebalanceo de carteras sistemáticas y Ratio Omega” (abril 2013) Tradingsys.org.
29 Young T. W. (1991) "Calmar Ratio: A Smoother Tool", Futures Magazine (Oct-1991).

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