Caos y Fractales en los Mercados I

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Y es que los meetups que organizo con XTB y FXStreet dan mucho de si. En las copas tras mi ponencia estuve hablando con mis amigos Manuel y Susana sobre la Teoría del Caos aplicada a mercados financieros. En concreto Manuel me preguntó acerca de libros que tratasen acerca de este tema. Rápidamente le recomendé los excelentes libros de Edgar E. Peters que podéis encontrar en Amazon: Chaos and Order in the Capital Markets, Fractal Market Analysis y Complexity, Risk, and Financial Markets. Pero a continuación recordé también un texto online muy didáctico y ameno que leí hace ya más de una década, el cual estaba escrito por James Orlin Grabbe (para los que no sepáis quién es, podéis leer sobre este autor en Wikipedia). Dado que Grabbe murió en 2008, y dado que le debía a los lectores de esta web un especial dedicado a la Teoría del Caos y los mercados financieros, iniciamos con este artículo una serie basada en traducciones del material escrito por Grabbe, espero que lo disfrutéis tanto como cuando yo lo leí (en especial Manuel y Susana, a los que agradezco que me recordaran a este autor después de tantos años ;)). Dicho esto, vamos allá con ello.

Prólogo: La Caída de la Manzana
En 1776, un año en el que los rebeldes políticos en Filadelfia estaban proclamando su independencia y libertad, un físico en Europa estaba proclamando la dependencia total y el determinismo. Según Pierre-Simon Laplace, si conociéramos las condiciones iniciales de cualquier situación, se podría determinar el futuro con mucha antelación: "El estado actual del sistema de la naturaleza es, evidentemente, una consecuencia de lo que era en el momento anterior, y si concebimos una inteligencia que en un instante dado comprende todas las relaciones de las entidades de este universo, podría entonces señalar las respectivas posiciones, movimientos y efectos generales de todas estas entidades en cualquier momento en el pasado o en el futuro ".

El universo de Laplace es sólo una mesa de billar gigante. Si sabemos dónde estaban las bolas, y se golpea e introducen correctamente, la bola correcta irá siempre al bolsillo previsto.

La arrogancia de Laplace en su capacidad para pronosticar el futuro era completamente consistente con las ecuaciones y el punto de vista de la mecánica clásica. Laplace no se había encontrado con la termodinámica sin equilibrio, la física cuántica o el caos. Hoy en día algunas personas tienen miedo por la propia noción de caos. Sin embargo en la actualidad no existe ninguna justificación para un punto de vista como el de Laplace.

A principios de este siglo, el matemático Henri Poincaré, que estaba estudiando el movimiento planetario, comenzó a tener un indicio del problema básico:


"Puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan diferencias muy grandes en el fenómeno final. Un pequeño error en las primeras producirá un enorme error en el segundo. La predicción se hace así imposible" (Poincaré, 1903).


En otras palabras, comenzó a darse cuenta de que "determinista" no es lo que se pensaba que era, incluso dejando a un lado la posibilidad de otro tipo de sistemas, no deterministas. Un ingeniero puede decirse a sí mismo: "Sé dónde está un sistema ahora. Sé la ubicación de este (planeta, nave espacial, automóvil, punto de apoyo, molécula) casi exactamente. Por lo tanto, puedo predecir su posición X días hacia delante en el futuro con un margen de error relacionado con el error en mis observaciones iniciales".

Sí. Bueno, eso no es decir demasiado. El error de predicción puede explotar hasta el infinito a un ritmo exponencial (lo veremos más adelante cuando hablemos de los exponentes de Lyapunov). Incluso Dios no podría lidiar con el margen de error, si el sistema es caótico. (No hay omnisciencia. Lo siento.) Y la cosa se pone peor si el sistema es no determinista.

¿El futuro lejano? Ya lo conocerá cuando lo vea, y esa es la primera vez que tendrá una pista acerca de cómo será.


Conociendo al Caos
La primera vez que me encontré con algo llamado "sistemas dinámicos" fue mientras estaba en la Universidad de California en Berkeley, aunque no les había prestado mucha atención. Pasé por Berkeley muy rápido, y no tenía tiempo para entretenerme. Pero cuando llegué a Harvard para graduarme, me compré el libro de René Thom, Structural Stability and Morphogenesis que acababa de salir en Inglés. La mejor parte del libro eran las fotos.

Considere una corona usada por un rey o una princesa, en los cuentos o, a veces en la vida real. ¿Por qué una corona tiene el aspecto que tiene? Bueno, una corona es una especie de figura redonda, por lo que cabe en la cabeza, y tiene agujas en el borde, como pequeños sombreros, pero triangulares –quién sabe por qué– y a veces en el extremo de las agujas hay pequeñas bolas redondas, joyas o pegotes de oro. Aparte de la exigencia de que se ajuste a la cabeza, la forma de una corona parece un poco arbitraria.

Pero allí mismo, en el libro de Thom había una foto de una bola de acero que se había dejado caer en plomo fundido, junto con el chapoteo del líquido fundido. El chapoteo de plomo era una corona perfecta - una columna vertical redonda ascendente hacia arriba que luego se ramificaba en torres triangulares que se hacían más y más delgadas (y se extendían hacia fuera lejos del centro de la corona) a medida que nos acercábamos a la punta, pero en lugar de terminar en una punta, cada aguja quedaba rematada por una gota esférica de plomo. En otras palabras, la forma de una corona no es arbitraria en absoluto: en ciertas condiciones su forma se reproduce espontáneamente cada vez que una esfera se deja caer en el plomo líquido. Así que la corona del rey no fue creada para "simbolizar" esto o aquello. La forma fue primero, un fenómeno natural, y la interpretación llegó más tarde.

La palabra "morfogénesis" se refiere a la formas que las cosas adoptan cuando crecen: los insectos crecen y adoptan una forma particular, al igual que los órganos humanos. Había leído varios libros sobre la teoría general de sistemas de Ervin Laszlo y Ludwig von Bertalanffy, que debatían el concepto de la morfogénesis, así que estaba familiarizado con las ideas básicas. Se hacían frecuentes referencias al libro del biólogo D'Arcy Thompson, On Growth and Form. Pero no fue hasta mucho más tarde, cuando empecé a crear arte por ordenador, y de forma caótica creé una hormiga más o menos perfecta mediante la iteración de una compleja ecuación de quinto grado (es decir, una ecuación que contiene una variable z elevado a la quinta potencia, Z5, donde z es un número complejo, como por ejemplo z = 0.5 + 1.2 sqrt (-1)), y realmente entendí el poder de este concepto. Si la forma de las hormigas es arbitraria, entonces ¿por qué no se ven entonces como complejas ecuaciones de quinto grado?

Pero sigamos adelante: en la escuela de posgrado estaba viendo las formas adoptadas por los precios de los activos financieros, en particular tipos de cambio de divisas, aunque podría haber estado analizando los precios de las acciones, los tipos de interés, o las commodities –los principios son los mismos. Aquí el supuesto es que los sistemas que generan los precios son no deterministas (estocásticos, aleatorios), pero eso no impide que haya una forma u orden ocultos, en forma de distribuciones de probabilidad.

Leyendo sobre las distribuciones de precios, me encontré con algunas referencias a Benoit Mandelbrot. Mandelbrot, un matemático aplicado, había hecho mucho ruido en Economía en la década de los años sesenta con algunas nociones heréticas de las probabilidades involucradas en las distribuciones de precios, y había admitido como discípulo a Eugene Fama en la Universidad de Chicago. Pero entonces Fama abandonó esta herejía (por supuestas razones empíricas que me resultan manifiestamente absurdas), y todo el mundo dio un suspiro de alivio y volvió al mundo familiar de los mínimos cuadrados y las distribuciones de precios que eran Normales (como creían) en el sentido social así como en el sentido de probabilidad de una "Normal" o distribución de Gauss.

En Economía, cuando se trabaja con los precios, primero se toman logaritmos, y luego se analizan las variaciones de los logaritmos de los precios. Dichas variaciones son lo que se denomina habitualmente como la distribución de precios. Pueden, por ejemplo, formar una curva en forma de campana alrededor de una media de cero. En ese caso, las variaciones tendrán una distribución Normal (Gaussiana), con una media cero y una desviación típica determinada. (Los precios reales en sí tendrían una distribución Lognormal. Pero eso no es lo que se entiende por "no normal" en la mayoría de los contextos económicos, porque la referencia habitual en la literatura es a las variaciones de los logaritmos del precio, y no a los precios reales en sí).

En ese momento vi por primera vez las distribuciones no normales, las cuales estaban muy fuera de moda en la economía. Hubo incluso una hostilidad activa a la idea de que podría haber este tipo de cosas en los mercados reales. Muchas personas tenían su conjunto de herramientas y resultados que se verían amenazados (o al menos ellos pensaban que se verían amenazados) si se cambiaban sus supuestos de probabilidad. La mayoría de la gente había oído hablar de Mandelbrot, pero curiosamente nadie parecía tener la más mínima idea de lo que eran los detalles reales de la cuestión. Era muy similar a lo que sucedía con la teoría de valoración de opciones en muchos aspectos: no se enseñaba en los departamentos económicos en aquella época, porque ninguno de los profesores la entendía.

Fui a la biblioteca de la Harvard Business School para leer los primeros artículos de Mandelbrot. La biblioteca de la escuela de negocios estaba mejor organizada que la biblioteca del departamento de Economía, y tenía una colección mejor de libros y revistas, además de estar muy cerca de donde yo vivía en el río Charles en Cambridge. En uno de los artículos, Mandelbrot dijo que las ideas que en él exponía se presentaron por primera vez a un público económico en el seminario internacional de Economía de Hendrik Houthakker en Harvard. Bingo. Me habría matriculado en Finanzas Internacionales de Houthakker y fui a hablar con él acerca de Mandelbrot. Houthakker había sido miembro del Consejo de Asesores Económicos de Richard Nixon, y era famoso por la frase: "[Nixon] no tenía gran interés en los asuntos económicos internacionales, como se demuestra en un incidente grabado en las cintas del Watergate donde entra Haldeman para hablar de la lira italiana. Su respuesta fue '[Improperio suprimido] la lira italiana!' "

Houthakker me dijo que había estudiado la distribución de los precios de futuros del algodón y no creía que tenían una distribución Normal. Había usado los mismos datos que Mandelbrot. Me dijo que Mandelbrot estaría de vuelta en EEUU tras una estancia en Francia, y que lo había visto un par de semanas antes. Mandelbrot tenía un nuevo libro que estaba mostrando a todo el mundo. Fui a la Cooperativa de Harvard y encontré una copia del libro de Mandelbrot. ¡Fotos geniales! Fue entonces cuando me enteré de lo que era un fractal, y terminé escribiendo dos de los tres ensayos en mi tesis doctoral sobre las distribuciones de precios fractales.

Los fractales me llevaron de nuevo al caos, porque los mapas (gráficos) de las ecuaciones del Caos crean patrones fractales.



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