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title: Caos y Fractales en los Mercados I
date: 2016-02-17T17:03:53Z
modified: 2024-10-30T18:50:08Z
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excerpt: ¿Qué tienen que ver entre si los mercados financieros y la Teoría del Caos? Con esta serie de artículos, espero responder muchas de las dudas sobre este tema.
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author: X-Trader
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Y es que los [meetups](https://www.x-trader.net/foro/viewtopic.php?f=32&t=18754) que organizo con XTB y FXStreet dan mucho de si. En las copas tras mi [ponencia](https://www.youtube.com/watch?v=HnEEkb1HyzU) estuve hablando con mis amigos Manuel y Susana sobre la Teoría del Caos aplicada a mercados financieros. En concreto Manuel me preguntó acerca de libros que tratasen acerca de este tema. Rápidamente le recomendé los excelentes libros de Edgar E. Peters que podéis encontrar en Amazon: [Chaos and Order in the Capital Markets](https://www.amazon.es/dp/0471139386?tag=xtradernet-21&camp=3598&creative=24794&linkCode=as1&creativeASIN=0471139386&adid=1466VFCCMVT2B0S80HPG&), [Fractal Market Analysis](http://www.amazon.es/gp/product/0471585246?adid=00NNXQ32TWCRWV05D5X8&camp=3598&creative=24794&creativeASIN=0471585246&linkCode=as1&tag=xtradernet-21) y [Complexity, Risk, and Financial Markets](http://www.amazon.es/gp/product/0471399817?adid=0X3EA3G63H8YGXMSRDCG&camp=3598&creative=24794&creativeASIN=0471399817&linkCode=as1&tag=xtradernet-21). Pero a continuación recordé también un texto online muy didáctico y ameno que leí hace ya más de una década, el cual estaba escrito por James Orlin Grabbe (para los que no sepáis quién es, podéis leer sobre este autor en [Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/James_Orlin_Grabbe)). Dado que Grabbe murió en 2008, y dado que le debía a los lectores de esta web un especial dedicado a la Teoría del Caos y los mercados financieros, iniciamos con este artículo una serie basada en traducciones del material escrito por Grabbe, espero que lo disfrutéis tanto como cuando yo lo leí (en especial Manuel y Susana, a los que agradezco que me recordaran a este autor después de tantos años ;)). Dicho esto, vamos allá con ello.

**Prólogo: La Caída de la Manzana**
En 1776, un año en el que los rebeldes políticos en Filadelfia estaban proclamando su independencia y libertad, un físico en Europa estaba proclamando la dependencia total y el determinismo. Según Pierre-Simon Laplace, si conociéramos las condiciones iniciales de cualquier situación, se podría determinar el futuro con mucha antelación: «El estado actual del sistema de la naturaleza es, evidentemente, una consecuencia de lo que era en el momento anterior, y si concebimos una inteligencia que en un instante dado comprende todas las relaciones de las entidades de este universo, podría entonces señalar las respectivas posiciones, movimientos y efectos generales de todas estas entidades en cualquier momento en el pasado o en el futuro «.

El universo de Laplace es sólo una mesa de billar gigante. Si sabemos dónde estaban las bolas, y se golpea e introducen correctamente, la bola correcta irá siempre al bolsillo previsto.

La arrogancia de Laplace en su capacidad para pronosticar el futuro era completamente consistente con las ecuaciones y el punto de vista de la mecánica clásica. Laplace no se había encontrado con la termodinámica sin equilibrio, la física cuántica o el caos. Hoy en día algunas personas tienen miedo por la propia noción de caos. Sin embargo en la actualidad no existe ninguna justificación para un punto de vista como el de Laplace.

A principios de este siglo, el matemático Henri Poincaré, que estaba estudiando el movimiento planetario, comenzó a tener un indicio del problema básico:

«Puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan diferencias muy grandes en el fenómeno final. Un pequeño error en las primeras producirá un enorme error en el segundo. La predicción se hace así imposible» (Poincaré, 1903).

En otras palabras, comenzó a darse cuenta de que «determinista» no es lo que se pensaba que era, incluso dejando a un lado la posibilidad de otro tipo de sistemas, no deterministas. Un ingeniero puede decirse a sí mismo: «Sé dónde está un sistema ahora. Sé la ubicación de este (planeta, nave espacial, automóvil, punto de apoyo, molécula) casi exactamente. Por lo tanto, puedo predecir su posición X días hacia delante en el futuro con un margen de error relacionado con el error en mis observaciones iniciales».

Sí. Bueno, eso no es decir demasiado. El error de predicción puede explotar hasta el infinito a un ritmo exponencial (lo veremos más adelante cuando hablemos de los exponentes de Lyapunov). Incluso Dios no podría lidiar con el margen de error, si el sistema es caótico. (No hay omnisciencia. Lo siento.) Y la cosa se pone peor si el sistema es no determinista.

¿El futuro lejano? Ya lo conocerá cuando lo vea, y esa es la primera vez que tendrá una pista acerca de cómo será.

**Conociendo al Caos**
La primera vez que me encontré con algo llamado «sistemas dinámicos» fue mientras estaba en la Universidad de California en Berkeley, aunque no les había prestado mucha atención. Pasé por Berkeley muy rápido, y no tenía tiempo para entretenerme. Pero cuando llegué a Harvard para graduarme, me compré el libro de René Thom, Structural Stability and Morphogenesis que acababa de salir en Inglés. La mejor parte del libro eran las fotos.

Considere una corona usada por un rey o una princesa, en los cuentos o, a veces en la vida real. ¿Por qué una corona tiene el aspecto que tiene? Bueno, una corona es una especie de figura redonda, por lo que cabe en la cabeza, y tiene agujas en el borde, como pequeños sombreros, pero triangulares –quién sabe por qué– y a veces en el extremo de las agujas hay pequeñas bolas redondas, joyas o pegotes de oro. Aparte de la exigencia de que se ajuste a la cabeza, la forma de una corona parece un poco arbitraria.

Pero allí mismo, en el libro de Thom había una foto de una bola de acero que se había dejado caer en plomo fundido, junto con el chapoteo del líquido fundido. El chapoteo de plomo era una corona perfecta – una columna vertical redonda ascendente hacia arriba que luego se ramificaba en torres triangulares que se hacían más y más delgadas (y se extendían hacia fuera lejos del centro de la corona) a medida que nos acercábamos a la punta, pero en lugar de terminar en una punta, cada aguja quedaba rematada por una gota esférica de plomo. En otras palabras, la forma de una corona no es arbitraria en absoluto: en ciertas condiciones su forma se reproduce espontáneamente cada vez que una esfera se deja caer en el plomo líquido. Así que la corona del rey no fue creada para «simbolizar» esto o aquello. La forma fue primero, un fenómeno natural, y la interpretación llegó más tarde.

La palabra «morfogénesis» se refiere a la formas que las cosas adoptan cuando crecen: los insectos crecen y adoptan una forma particular, al igual que los órganos humanos. Había leído varios libros sobre la teoría general de sistemas de Ervin Laszlo y Ludwig von Bertalanffy, que debatían el concepto de la morfogénesis, así que estaba familiarizado con las ideas básicas. Se hacían frecuentes referencias al libro del biólogo D’Arcy Thompson, On Growth and Form. Pero no fue hasta mucho más tarde, cuando empecé a crear arte por ordenador, y de forma caótica creé una hormiga más o menos perfecta mediante la iteración de una compleja ecuación de quinto grado (es decir, una ecuación que contiene una variable z elevado a la quinta potencia, Z5, donde z es un número complejo, como por ejemplo z = 0.5 + 1.2 sqrt (-1)), y realmente entendí el poder de este concepto. Si la forma de las hormigas es arbitraria, entonces ¿por qué no se ven entonces como complejas ecuaciones de quinto grado?

Pero sigamos adelante: en la escuela de posgrado estaba viendo las formas adoptadas por los precios de los activos financieros, en particular tipos de cambio de divisas, aunque podría haber estado analizando los precios de las acciones, los tipos de interés, o las commodities –los principios son los mismos. Aquí el supuesto es que los sistemas que generan los precios son no deterministas (estocásticos, aleatorios), pero eso no impide que haya una forma u orden ocultos, en forma de distribuciones de probabilidad.

Leyendo sobre las distribuciones de precios, me encontré con algunas referencias a Benoit Mandelbrot. Mandelbrot, un matemático aplicado, había hecho mucho ruido en Economía en la década de los años sesenta con algunas nociones heréticas de las probabilidades involucradas en las distribuciones de precios, y había admitido como discípulo a Eugene Fama en la Universidad de Chicago. Pero entonces Fama abandonó esta herejía (por supuestas razones empíricas que me resultan manifiestamente absurdas), y todo el mundo dio un suspiro de alivio y volvió al mundo familiar de los mínimos cuadrados y las distribuciones de precios que eran Normales (como creían) en el sentido social así como en el sentido de probabilidad de una «Normal» o distribución de Gauss.

En Economía, cuando se trabaja con los precios, primero se toman logaritmos, y luego se analizan las variaciones de los logaritmos de los precios. Dichas variaciones son lo que se denomina habitualmente como la distribución de precios. Pueden, por ejemplo, formar una curva en forma de campana alrededor de una media de cero. En ese caso, las variaciones tendrán una distribución Normal (Gaussiana), con una media cero y una desviación típica determinada. (Los precios reales en sí tendrían una distribución Lognormal. Pero eso no es lo que se entiende por «no normal» en la mayoría de los contextos económicos, porque la referencia habitual en la literatura es a las variaciones de los logaritmos del precio, y no a los precios reales en sí).

En ese momento vi por primera vez las distribuciones no normales, las cuales estaban muy fuera de moda en la economía. Hubo incluso una hostilidad activa a la idea de que podría haber este tipo de cosas en los mercados reales. Muchas personas tenían su conjunto de herramientas y resultados que se verían amenazados (o al menos ellos pensaban que se verían amenazados) si se cambiaban sus supuestos de probabilidad. La mayoría de la gente había oído hablar de Mandelbrot, pero curiosamente nadie parecía tener la más mínima idea de lo que eran los detalles reales de la cuestión. Era muy similar a lo que sucedía con la teoría de valoración de opciones en muchos aspectos: no se enseñaba en los departamentos económicos en aquella época, porque ninguno de los profesores la entendía.

Fui a la biblioteca de la Harvard Business School para leer los primeros artículos de Mandelbrot. La biblioteca de la escuela de negocios estaba mejor organizada que la biblioteca del departamento de Economía, y tenía una colección mejor de libros y revistas, además de estar muy cerca de donde yo vivía en el río Charles en Cambridge. En uno de los artículos, Mandelbrot dijo que las ideas que en él exponía se presentaron por primera vez a un público económico en el seminario internacional de Economía de Hendrik Houthakker en Harvard. Bingo. Me habría matriculado en Finanzas Internacionales de Houthakker y fui a hablar con él acerca de Mandelbrot. Houthakker había sido miembro del Consejo de Asesores Económicos de Richard Nixon, y era famoso por la frase: «\[Nixon\] no tenía gran interés en los asuntos económicos internacionales, como se demuestra en un incidente grabado en las cintas del Watergate donde entra Haldeman para hablar de la lira italiana. Su respuesta fue ‘\[Improperio suprimido\] la lira italiana!’ «

Houthakker me dijo que había estudiado la distribución de los precios de futuros del algodón y no creía que tenían una distribución Normal. Había usado los mismos datos que Mandelbrot. Me dijo que Mandelbrot estaría de vuelta en EEUU tras una estancia en Francia, y que lo había visto un par de semanas antes. Mandelbrot tenía un nuevo libro que estaba mostrando a todo el mundo. Fui a la Cooperativa de Harvard y encontré una copia del libro de Mandelbrot. ¡Fotos geniales! Fue entonces cuando me enteré de lo que era un fractal, y terminé escribiendo dos de los tres ensayos en mi tesis doctoral sobre las distribuciones de precios fractales.

Los fractales me llevaron de nuevo al caos, porque los mapas (gráficos) de las ecuaciones del Caos crean patrones fractales.

**Poemas e Imágenes Preliminares**
La forma más fácil de empezar a explicar cómo es un elefante es mostrar primero a alguien una foto. Vd. señala y dice: «Mira. Un elefante». Así que aquí hay una foto de un fractal, algo que se llama una alfombra de Sierpinski:

![](https://www.x-trader.net/wp-content/uploads/2022/01/carpet.gif)

Observe que tiene un cuadrado azul en el centro, con 8 cuadrados más pequeños adicionales alrededor del cuadrado central.

![](https://www.x-trader.net/wp-content/uploads/2022/01/carpet_scheme.png)

Cada uno de los 8 cuadros pequeños se parece al cuadrado original. Multiplicando cada lado de un cuadrado más pequeño por 3 (aumentando el área de 3 x 3 = 9), se obtiene el cuadrado original. O bien, haciendo lo contrario, dividiendo cada lado del cuadrado original grande por 3, obtenemos uno de los 8 cuadrados más pequeños. Con un factor de escala de 3, todos los cuadrados tienen el mismo aspecto (dejando a un lado el cuadrado del centro).

Por tanto, podemos obtener 8 copias del cuadrado original con un factor de escala de 3. Más adelante veremos que esto define una dimensión fractal igual a log 8 / log 3 = 1.8927. (Aunque lo veremos más adelante, observe que la dimensión no es un bonito número entero como 2 o 3.)

Cada uno de los cuadrados más pequeños también se puede dividir de la misma manera: un cuadrado azul central rodeado por 8 cuadrados aún más pequeños. Así que los 8 cuadrados pequeños originales pueden ser divididos en un total de 64 cuadrados cada uno –cada uno de los cuales tendrá el mismo aspecto que el cuadrado original si multiplicamos sus lados por 9. Por lo tanto la dimensión fractal es log 64 / log 9 = 1,8927. (No esperaría que la dimensión cambiara, ¿verdad?) En un fractal, este proceso continúa para siempre.

Mientras tanto, sin darnos cuenta, acabamos de definir lo que es una dimensión fractal (o dimensión de Hausdorff). Si el número de cuadrados pequeños cuadrados es N con un factor de escala r, entonces estos dos números están relacionadas por la dimensión fractal D tal que:

 _N = rD_

O, despejando D y tomando logaritmos, tendemos que _D = log N / log r_.

Veamos ahora un poema sobre pulgas fractales:

 _Hobbes clearly proves that every creature_
 _Lives in a state of war by nature;_
 _So naturalists observe a flea_
 _Has smaller fleas that on him prey,_
 _And these have smaller still to bite ’em,_
 _And so proceed ad infinitum._

Swift, J. (1733), _Poetry: a Rhapsody_

Bien, esto en cuanto a un análisis preliminar de los fractales. Vamos a echar un vistazo preliminar al Caos, preguntándonos qué es un sistema dinámico.

**Sistemas Dinámicos**
¿Qué es un sistema dinámico? He aquí uno: Juanito crece 5 centimetros por año. Este sistema explica cómo la altura de Johnny cambia con el tiempo. Sea x(n) la altura de Johnny este año. Mientras que su altura el año será x(n + 1). Entonces podemos escribir el sistema dinámico en la forma de una ecuación como:

x(n + 1) = x(n) + 5

¿Lo ve? ¿No son simples las matemáticas? Si introducimos la altura actual de Johnny de x(n) = 96 cm. en el lado derecho de la ecuación, obtenemos la altura de Johnny para el próximo año:

x (n + 1) = x (n) + 5 = 96 + 5 = 101 cm

Pasar del lado derecho de la ecuación al izquierdo es lo que se denomina una iteración. Podemos iterar de nuevo introduciendo la nueva altura de 101 cm de Johnny en el lado derecho de la ecuación (es decir, x(n) = 101), y obtener x(n + 1) = 101+5 = 106. Si iteramos la ecuación una tercera vez, obtenemos la altura de Johnny en 3 años, es decir, 111 cm, a partir de una altura de 96 cm).

Este es un sistema dinámico determinista. Si quisiéramos que sea no determinista (estocástico), podríamos dejar que el modelo sea: Johnny crece 5 cm al año, más o menos, y escribir la ecuación como:

x(n + 1) = x(n) + 5 + u

donde u es un pequeño término de error (pequeño en relación a 5), y sigue una determinada distribución de probabilidad.

Volvamos a la ecuación determinista original. La ecuación original, x(n + 1) = x(n) + 5, es lineal. Lineal significa que o bien sumamos variables o constantes, o multiplicamos variables por constantes. Así, la ecuación z(n + 1) = z(n) + 5y(n) – 2x(n) es lineal, por ejemplo. Pero si se multiplican variables juntas, o elevamos alguna de ellas a una potencia diferente de 1, la ecuación (sistema) es no lineal. Por ejemplo, la ecuación x(n + 1) = x(n)2 es no lineal debido a que x(n) se eleva al cuadrado. La ecuación z = xy también es no lineal debido a que dos variables, X e Y, se multiplican entre sí.

Bueno. Basta de esto. ¿Qué es el Caos? Aquí tiene una imagen de caos. Las líneas muestran cómo un sistema dinámico (en particular, un sistema de Lorenz) cambia con el tiempo en un espacio tridimensional. Observe cómo la línea (ruta, trayectoria) dibuja bucles infinitos, que nunca se cortan entre sí.

![](https://www.x-trader.net/wp-content/uploads/2022/01/lorenzd3.gif)

Observe también que el sistema mantiene un bucle en torno a dos áreas generales, como si fuera atraído por ellas. Los puntos a los que un sistema se siente obligado a ir en una dirección determinada se denominan cuenca de atracción. El lugar al que va se llama atractor.

Aquí tenemos una ecuación cuyo atractor es un único punto, el cero:

x(n + 1) = 0.9 x(n)

No importa en qué valor comience x(n), el siguiente valor, x(n + 1), es sólo el 90 por ciento de eso. Si se mantiene la iteración de la ecuación, el valor de x(n + 1) se aproxima a cero.

Algunos atractores son simples círculos o bucles cerrados –como si fuera un trozo de cuerda irregular con los extremos conectados. Estos son los llamados ciclos límite.

Otros atractores, como el atractor de Lorenz anterior, son más raros. Por ello se denominan atractores extraños.

Bien, ahora vamos a definir el caos.

**¿Qué es el Caos?**
¿Cuáles son las características del caos? En primer lugar, los sistemas caóticos son no lineales y siguen trayectorias (caminos, carreteras) que terminan en bucles que no se cruzan denominados atractores extraños. Vamos a empezar por comprender qué significan estos dos términos.

Voy a repetir algunas cosas que hemos visto en el apartado anterior. Déjà vu. Pero, al igual que en la película The Matrix, un déjà vu puede transmitir información útil.

Los sistemas clásicos de ecuaciones de la Física eran lineales. Lineal significa simplemente que las salidas son proporcionales a las entradas. Proporcional significa que o bien multiplica las entradas por constantes para obtener la salida, o suma una constante a las entradas para obtener la salida, o ambos. Por ejemplo, aquí hay una sencilla ecuación lineal a partir del modelo de valoración de activos utilizados en las finanzas corporativas:

E(R) = a + bE(Rm)

Dicha ecuación nos dice que el rendimiento esperado de una acción, E(R), es proporcional a la rentabilidad del mercado, E(Rm). La entrada es E(Rm). Se multiplica por _b_ («beta»), a continuación, se le suma _a_ («alfa») obteniendo el resultado, E(R). Esto define una ecuación lineal.

Las ecuaciones que no se pueden obtener multiplicando variables aisladas (no elevadas a una potencia, excepto uno) por constantes, y sumándolas juntas, son no lineales. La ecuación y=x2 es no lineal, ya que utiliza una potencia de dos, a saber: x al cuadrado. La ecuación z = 4xy-10 es no lineal debido a que la variable x multiplica a la variable y.

La ecuación z = 5+3x-4y-10z es lineal, ya que cada variable se multiplica solamente por una constante, y después se suman los términos. Si multiplicamos esta última ecuación por 7, todavía es lineal: 7z = 35+21x-28y-70z. Si lo multiplicamos por la variable y, sin embargo, se convierte en no lineal: zy = 5y+3xy-4y2-10zy.

La ciencia del Caos busca patrones característicos que aparecen en los sistemas complejos. A menos que estos patrones sean extremadamente simples, como un único punto de equilibrio («el precio de equilibrio del oro es de 300$»), o una curva cerrada u oscilatoria sencilla (un círculo o una onda sinusoidal, por ejemplo), los patrones se conocen como atractores extraños.

Estos patrones son generados por sistemas auto-organizados. En diferentes campos científicos se utilizan otros nombres para los atractores extraños. En Biología (o la Sociobiología) nos estaríamos refiriendo a los patrones de comportamiento colectivos de los animales o sociales. En la psicología de Jung, estos patrones serían los denominados arquetipos.

La característica principal del Caos es que los sistemas deterministas simples pueden generar lo que parece ser un comportamiento aleatorio. Piense en lo que esto significa. Las buenas noticias son que, si observamos lo que parece ser complicado, un comportamiento aparentemente aleatorio, tal vez está siendo generado por algunas reglas deterministas. Y tal vez podemos descubrir cuáles son. Tal vez la vida no sea tan complicada después de todo. En la parte negativa, supongamos que tenemos un sistema determinista simple. Podemos pensar que lo entendemos ya que parece muy simple. Pero puede llegar a tener propiedades muy complejas. En cualquier caso, el Caos lo que nos dice es que si un comportamiento posee apariencia aleatoria, no seremos capaces de discernir si está generado de forma aleatoria o determinista. La mayoría de nosotros ya sabemos esto. Es posible que hayamos utilizado generadores de números aleatorios (realmente pseudo-aleatorios) en el ordenador. Los números «aleatorios» en este caso se generan mediante ecuaciones deterministas simples.

**Soy Sensible – No Me Molestes**
Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales. Supongamos que tenemos el siguiente sistema simple (la denominada ecuación logística) con una única variable, apareciendo como entrada, x(n), y de salida, x(n + 1):

x(n + 1) = 4x(n) \[1-x(n)\]

La entrada es x(n). La salida es x(n + 1). El sistema no es lineal, ya que si se multiplica el lado derecho de la ecuación, hay una x(n) elevada al cuadrado. Así que la salida no es proporcional a la entrada. Vamos a jugar con este sistema. Sea x(n) = 0.75. La salida es:

4·(0.75) · \[1- 0,75\] = 0,75

Es decir, x(n + 1) = 0,75. Si esto fuera una ecuación que describe el comportamiento de los precios de un mercado, el mercado estaría en equilibrio, porque el precio de hoy (0.75) generaría el mismo precio mañana. Si x(n) y x(n + 1) eran las expectativas, sería una profecía auto-cumplida. Teniendo en cuenta el precio de hoy x(n) = 0.75, el precio de mañana será x(n+1) = 0.75. El valor 0.75 se denomina un punto fijo de la ecuación, ya que si lo usamos como entrada devuelve un valor de salida. Se mantiene fijo, y no se transforma en un nuevo número.

Pero, supongamos que el mercado comienza en x(0) = 0.7499. La salida es:

4 · (0.7499) \[1-0.7499\] = 0.7502 = x(1)

Ahora, utilizando la salida del día anterior x(1) = 0.7502 como la próxima entrada, obtenemos una nueva salida:

4 · (0.7502) · \[1-0.7502\] = 0.7496 = x(2)

Y así sucesivamente. Generar una salida a partir de un conjunto de entradas es lo que se denomina iteración. Luego, en la siguiente iteración, el nuevo valor de salida se utiliza como valor de entrada, para obtener otro valor de salida. Podéis ver las primeras 100 iteraciones de la ecuación logística, tomando diferentes valores de partida, en el archivo Excel que podéis descargar haciendo click **[aquí](https://www.x-trader.net/wp-content/uploads/2022/01/Logistica.xls)**.

En dicho archivo, fijémonos por ejemplo en la iteración nº 20. Dependiendo del valor con el que hayamos comenzado, los resultados varían. Así, si hemos empezado con x(0) = 0.75, nos sale que x(20) =0.75, mientras que si x(0) = 0.7499, obtenemos x(20) = 0.359844 y si x(0)=0.74999, tendremos que x(20) = 0.995773. Es evidente que un pequeño cambio en el valor de partida inicial determina una gran variación en el resultado después de unos pocos pasos. Resulta evidente que la ecuación es muy sensible a las condiciones iniciales.

El meteorólogo Edward Lorenz descubrió este fenómeno en 1963 en el MIT. Fue redondeando sus ecuaciones de predicción del tiempo en ciertos intervalos de seis a tres decimales, porque su salida impresa sólo tenía tres decimales. De repente se dio cuenta de que todas las secuencias de números posteriores que obtenía eran diferentes. A partir de dos puntos cercanos, las trayectorias se separaban la una de la otra rápidamente. Esto implicaba que la predicción del tiempo a largo plazo era imposible. Dicho de otro modo, que estaba tratando con ecuaciones caóticas.

Las diferentes trayectorias que resuelven las ecuaciones caóticas forman patrones denominados atractores extraños. Y si aparecen patrones similares en el atractor extraño a diferentes escalas (ya sean mayores o menores, gobernadas por un multiplicador o factor de escala r, como hemos visto anteriormente), se dice que son fractales. Dichos fractales tendrán una dimensión fractal D, que se rige por la relación N = rD. Las ecuaciones caóticas como la ecuación logística que acabamos de ver generan patrones fractales.

**¿Por Qué el Caos?**
¿Por qué el Caos? ¿Tiene una función física o biológica? La respuesta es que sí.

Una de las funciones del caos es la prevención del efecto de arrastre. Antiguamente los soldados solían romper el paso al marchar sobre puentes, debido a que la frecuencia de vibración natural del puente podría quedar atrapada con los pasos de los soldados, y el puente se volvería cada vez más inestable e incluso hacer que colapse. El Caos, por el contrario, permite que los componentes individuales funcionen con cierta independencia.

Un sistema económico mundial caótico es deseable en sí mismo. Impide el desarrollo de un ciclo económico internacional, en el que muchas economías entran en crisis simultáneamente. De lo contrario, los ciclos económicos de cada país podrían llegar a estar armonizados por lo que muchas economías entrarían en recesión al mismo tiempo. La coordinación de políticas macroeconómicas a través del G-7, por ejemplo, corre el riesgo de la creación de efectos de arrastre económico, con lo que la economía mundial sería menos robusta para absorber los shocks.

Tal y como señala M. Conrad en _What is the Use of Chaos?_, «un sistema caótico con un atractor extraño en realidad puede disipar las perturbaciones mucho más rápidamente. Tales sistemas son muy sensibles a las condiciones iniciales, por lo que podría parecer que no pueden disipar las perturbaciones en absoluto. Pero si el sistema posee un atractor extraño que hace que todas las trayectorias sean aceptables desde el punto de vista funcional, la sensibilidad a las condiciones iniciales proporciona el mecanismo más eficaz para disipar las perturbaciones».

Dicho de otro modo, ya que el sistema es tan sensible a las condiciones iniciales, las condiciones iniciales en si mismas pierden importancia rápidamente, siempre que sea el propio atractor extraño el que ofrece los beneficios. Ary Goldberger de la Escuela de Medicina de Harvard ha argumentado que un corazón sano es caótico. Esto viene de la comparación de los electrocardiogramas de los individuos normales con los de los pacientes que sufren un ataque cardiaco. Los ECG de pacientes sanos tienen irregularidades complejas, mientras que aquellos a punto de tener un ataque al corazón muestran ritmos mucho más simples.

**¿Cómo de Rápido Empiezan a Ir Mal las Previsiones? – El Exponente de Lyapunov**
El exponente de Lyapunov es una medida de la tasa exponencial de divergencia de trayectorias cercanas.

Vimos que un pequeño cambio en las condiciones iniciales de la ecuación logística dio lugar a trayectorias divergentes después de unas pocas iteraciones. La rapidez con la que estas trayectorias divergen es una medida de nuestra capacidad para pronosticar de forma acertada.

Después de unas pocas iteraciones, las tres trayectorias que hemos visto en el archivo anterior son más o menos similares. Esto sugiere que la predicción a corto plazo puede ser posible. Una predicción de x(n + 1) = 0.75, basándose únicamente en la primera trayectoria, a partir de x(0) = 0.75 servirá razonablemente bien para las otras dos trayectorias, al menos para las primeras iteraciones. Pero, en la iteración 20 los valores de x(n + 1) son muy diferentes entre las tres trayectorias. Esto sugiere que la predicción a largo plazo es imposible en un sistema caótico.

Así que vamos a pensar en el corto plazo. ¿Cómo es de corto? ¿Cómo de rápido las trayectorias divergen debido a pequeños errores de observación, pequeños shocks u otras diferencias de pequeña magnitud? Pues bien, eso es lo que el exponente de Lyapunov nos va a decir.

Denotemos por u el error en nuestra observación inicial, o la diferencia de dos condiciones iniciales. En nuestro ejemplo en Excel podría ser la diferencia entre 0.75 y 0.7499, o entre 0.75 y 0.74999.

Sea R una distancia (positiva o negativa) en torno a una trayectoria de referencia, y supongamos que nos hacemos la pregunta: ¿con qué rapidez una segunda trayectoria que incluye el error e se aleja más allá de la distancia R? La respuesta es la siguiente función del número de pasos (_n_), y del exponente de Lyapunov (_l_), de acuerdo con la siguiente ecuación (donde «exp» representa al número e = 2,7182818 …, la base de los logaritmos naturales):

_R = u · exp (l·n)_

Como veremos en unos momentos, el exponente Lyapunov de la ecuación logística es _l_ = 0.693147. Por lo tanto, en este caso, tenemos que R = u · exp (0.693147·n).

**Ejemplo de Cálculo Usando el Exponente de Lyapunov**
En la [hoja de Excel de la logística](https://www.x-trader.net/wp-content/uploads/2022/01/Logistica.xls) se utilizan los valores de 0.75, 0.7499 y 0.74999 como punto de partida. Supongamos que la pregunta que nos hacemos es la siguiente: ¿cuánto tiempo (en qué número de pasos n) nos lleva para salirnos del rango +0.01 o –0.01 de nuestra primera trayectoria (constante) de x(n) = 0.75? Es decir, con un valor de partida ligeramente diferente, ¿cuántos pasos tardaremos en conseguir que el sistema se aleje del intervalo (0.74, 0.76)?

En este caso, tenemos que la distancia R es 0.01. Para la segunda trayectoria, con un valor inicial de 0.7499, el cambio en la condición inicial es u = 0.75 – 0.7499 = 0.0001. Por lo tanto, aplicando la ecuación R = u · exp (l·n), tenemos que:

0.01 = 0.0001 · exp (0.693147n)

Despejando obtenemos que n= 6,64. Si miramos la tabla, veremos que para n = 7 (en la séptima iteración), el valor x(7) es 0.762688, y que este es el primer valor que se ha ido fuera del intervalo (0.74, 0.76).

Del mismo modo, para la tercera trayectoria, con un valor inicial de 0,74999, el cambio en la condición inicial es u = 0.75 – 0.74999 = 0.00001. La aplicación de la ecuación nuevamente nos permite obtener el número de iteración, simplemente basta con despejar n en la expresión:
0.01 = 0.00001 · exp (0,693147n).

De donde obtenemos que n = 9.96. Revisando la tabla vemos que para n = 10 (la décima iteración), tenemos x(10) = 0.739691, y este es el primer valor fuera del intervalo (0.74, 0.76) para esta trayectoria.

En este ejemplo de cálculo, el sistema diverge ya que el exponente de Lyapunov es positivo. Si se diera el caso de que el exponente de Lyapunov fuera negativo, entonces _exp (l·n)_ se iría haciendo cada vez más pequeño en cada iteración con cada paso. Por ello, para que el sistema sea caótico, debe verificarse que _l>0_.

Asimismo debemos tener en cuenta que la ecuación logística es una ecuación simple con sólo una variable, x(n), por lo que solo tiene un exponente de Lyapunov. En general, un sistema con M variables puede tener hasta M exponentes de Lyapunov. Y diremos que un atractor es caótico si al menos uno de sus exponentes de Lyapunov es positivo.

Claro, seguramente os estéis preguntando cómo se ha obtenido el valor del exponente de Lyapunov en la fórmula anterior. El cálculo es algo más complejo pero para los tengan ciertos conocimientos de análisis matemático les resultará sencillo: para una ecuación f(x(n)) el exponente de Lyapunov no es más que la media de los valores absolutos del logaritmo neperiano de su derivada. Por ejemplo, si calculamos la derivada de ecuación logística con respecto a x(n) obtenemos que es:

f’(x(n)) = 4 – 8x(n)

Ahora deberíamos calcular las sucesivas iteraciones en la segunda trayectoria aplicando esta fórmula, calcular el logaritmo de los resultados obtenidos y hacer la media. Podéis ver cómo hacerlo en detalle en la hoja de cálculo de la logística.

Bien, suficiente por ahora. En el siguiente artículo hablaremos de fractales un poco más, lo que nos conducirá directamente a la Economía y las Finanzas.

_(Continuará…)_

Saludos,
X-Trader

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