¿Qué es el Caos?
¿Cuáles son las características del caos? En primer lugar, los sistemas caóticos son no lineales y siguen trayectorias (caminos, carreteras) que terminan en bucles que no se cruzan denominados atractores extraños. Vamos a empezar por comprender qué significan estos dos términos.
Voy a repetir algunas cosas que hemos visto en el apartado anterior. Déjà vu. Pero, al igual que en la película The Matrix, un déjà vu puede transmitir información útil.
Los sistemas clásicos de ecuaciones de la Física eran lineales. Lineal significa simplemente que las salidas son proporcionales a las entradas. Proporcional significa que o bien multiplica las entradas por constantes para obtener la salida, o suma una constante a las entradas para obtener la salida, o ambos. Por ejemplo, aquí hay una sencilla ecuación lineal a partir del modelo de valoración de activos utilizados en las finanzas corporativas:
E(R) = a + bE(Rm)
Dicha ecuación nos dice que el rendimiento esperado de una acción, E(R), es proporcional a la rentabilidad del mercado, E(Rm). La entrada es E(Rm). Se multiplica por b («beta»), a continuación, se le suma a («alfa») obteniendo el resultado, E(R). Esto define una ecuación lineal.
Las ecuaciones que no se pueden obtener multiplicando variables aisladas (no elevadas a una potencia, excepto uno) por constantes, y sumándolas juntas, son no lineales. La ecuación y=x2 es no lineal, ya que utiliza una potencia de dos, a saber: x al cuadrado. La ecuación z = 4xy-10 es no lineal debido a que la variable x multiplica a la variable y.
La ecuación z = 5+3x-4y-10z es lineal, ya que cada variable se multiplica solamente por una constante, y después se suman los términos. Si multiplicamos esta última ecuación por 7, todavía es lineal: 7z = 35+21x-28y-70z. Si lo multiplicamos por la variable y, sin embargo, se convierte en no lineal: zy = 5y+3xy-4y2-10zy.
La ciencia del Caos busca patrones característicos que aparecen en los sistemas complejos. A menos que estos patrones sean extremadamente simples, como un único punto de equilibrio («el precio de equilibrio del oro es de 300$»), o una curva cerrada u oscilatoria sencilla (un círculo o una onda sinusoidal, por ejemplo), los patrones se conocen como atractores extraños.
Estos patrones son generados por sistemas auto-organizados. En diferentes campos científicos se utilizan otros nombres para los atractores extraños. En Biología (o la Sociobiología) nos estaríamos refiriendo a los patrones de comportamiento colectivos de los animales o sociales. En la psicología de Jung, estos patrones serían los denominados arquetipos.
La característica principal del Caos es que los sistemas deterministas simples pueden generar lo que parece ser un comportamiento aleatorio. Piense en lo que esto significa. Las buenas noticias son que, si observamos lo que parece ser complicado, un comportamiento aparentemente aleatorio, tal vez está siendo generado por algunas reglas deterministas. Y tal vez podemos descubrir cuáles son. Tal vez la vida no sea tan complicada después de todo. En la parte negativa, supongamos que tenemos un sistema determinista simple. Podemos pensar que lo entendemos ya que parece muy simple. Pero puede llegar a tener propiedades muy complejas. En cualquier caso, el Caos lo que nos dice es que si un comportamiento posee apariencia aleatoria, no seremos capaces de discernir si está generado de forma aleatoria o determinista. La mayoría de nosotros ya sabemos esto. Es posible que hayamos utilizado generadores de números aleatorios (realmente pseudo-aleatorios) en el ordenador. Los números «aleatorios» en este caso se generan mediante ecuaciones deterministas simples.
Soy Sensible – No Me Molestes
Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales. Supongamos que tenemos el siguiente sistema simple (la denominada ecuación logística) con una única variable, apareciendo como entrada, x(n), y de salida, x(n + 1):
x(n + 1) = 4x(n) [1-x(n)]
La entrada es x(n). La salida es x(n + 1). El sistema no es lineal, ya que si se multiplica el lado derecho de la ecuación, hay una x(n) elevada al cuadrado. Así que la salida no es proporcional a la entrada. Vamos a jugar con este sistema. Sea x(n) = 0.75. La salida es:
4·(0.75) · [1- 0,75] = 0,75
Es decir, x(n + 1) = 0,75. Si esto fuera una ecuación que describe el comportamiento de los precios de un mercado, el mercado estaría en equilibrio, porque el precio de hoy (0.75) generaría el mismo precio mañana. Si x(n) y x(n + 1) eran las expectativas, sería una profecía auto-cumplida. Teniendo en cuenta el precio de hoy x(n) = 0.75, el precio de mañana será x(n+1) = 0.75. El valor 0.75 se denomina un punto fijo de la ecuación, ya que si lo usamos como entrada devuelve un valor de salida. Se mantiene fijo, y no se transforma en un nuevo número.
Pero, supongamos que el mercado comienza en x(0) = 0.7499. La salida es:
4 · (0.7499) [1-0.7499] = 0.7502 = x(1)
Ahora, utilizando la salida del día anterior x(1) = 0.7502 como la próxima entrada, obtenemos una nueva salida:
4 · (0.7502) · [1-0.7502] = 0.7496 = x(2)
Y así sucesivamente. Generar una salida a partir de un conjunto de entradas es lo que se denomina iteración. Luego, en la siguiente iteración, el nuevo valor de salida se utiliza como valor de entrada, para obtener otro valor de salida. Podéis ver las primeras 100 iteraciones de la ecuación logística, tomando diferentes valores de partida, en el archivo Excel que podéis descargar haciendo click aquí.
En dicho archivo, fijémonos por ejemplo en la iteración nº 20. Dependiendo del valor con el que hayamos comenzado, los resultados varían. Así, si hemos empezado con x(0) = 0.75, nos sale que x(20) =0.75, mientras que si x(0) = 0.7499, obtenemos x(20) = 0.359844 y si x(0)=0.74999, tendremos que x(20) = 0.995773. Es evidente que un pequeño cambio en el valor de partida inicial determina una gran variación en el resultado después de unos pocos pasos. Resulta evidente que la ecuación es muy sensible a las condiciones iniciales.
El meteorólogo Edward Lorenz descubrió este fenómeno en 1963 en el MIT. Fue redondeando sus ecuaciones de predicción del tiempo en ciertos intervalos de seis a tres decimales, porque su salida impresa sólo tenía tres decimales. De repente se dio cuenta de que todas las secuencias de números posteriores que obtenía eran diferentes. A partir de dos puntos cercanos, las trayectorias se separaban la una de la otra rápidamente. Esto implicaba que la predicción del tiempo a largo plazo era imposible. Dicho de otro modo, que estaba tratando con ecuaciones caóticas.
Las diferentes trayectorias que resuelven las ecuaciones caóticas forman patrones denominados atractores extraños. Y si aparecen patrones similares en el atractor extraño a diferentes escalas (ya sean mayores o menores, gobernadas por un multiplicador o factor de escala r, como hemos visto anteriormente), se dice que son fractales. Dichos fractales tendrán una dimensión fractal D, que se rige por la relación N = rD. Las ecuaciones caóticas como la ecuación logística que acabamos de ver generan patrones fractales.
¿Por Qué el Caos?
¿Por qué el Caos? ¿Tiene una función física o biológica? La respuesta es que sí.
Una de las funciones del caos es la prevención del efecto de arrastre. Antiguamente los soldados solían romper el paso al marchar sobre puentes, debido a que la frecuencia de vibración natural del puente podría quedar atrapada con los pasos de los soldados, y el puente se volvería cada vez más inestable e incluso hacer que colapse. El Caos, por el contrario, permite que los componentes individuales funcionen con cierta independencia.
Un sistema económico mundial caótico es deseable en sí mismo. Impide el desarrollo de un ciclo económico internacional, en el que muchas economías entran en crisis simultáneamente. De lo contrario, los ciclos económicos de cada país podrían llegar a estar armonizados por lo que muchas economías entrarían en recesión al mismo tiempo. La coordinación de políticas macroeconómicas a través del G-7, por ejemplo, corre el riesgo de la creación de efectos de arrastre económico, con lo que la economía mundial sería menos robusta para absorber los shocks.
Tal y como señala M. Conrad en What is the Use of Chaos?, «un sistema caótico con un atractor extraño en realidad puede disipar las perturbaciones mucho más rápidamente. Tales sistemas son muy sensibles a las condiciones iniciales, por lo que podría parecer que no pueden disipar las perturbaciones en absoluto. Pero si el sistema posee un atractor extraño que hace que todas las trayectorias sean aceptables desde el punto de vista funcional, la sensibilidad a las condiciones iniciales proporciona el mecanismo más eficaz para disipar las perturbaciones».
Dicho de otro modo, ya que el sistema es tan sensible a las condiciones iniciales, las condiciones iniciales en si mismas pierden importancia rápidamente, siempre que sea el propio atractor extraño el que ofrece los beneficios. Ary Goldberger de la Escuela de Medicina de Harvard ha argumentado que un corazón sano es caótico. Esto viene de la comparación de los electrocardiogramas de los individuos normales con los de los pacientes que sufren un ataque cardiaco. Los ECG de pacientes sanos tienen irregularidades complejas, mientras que aquellos a punto de tener un ataque al corazón muestran ritmos mucho más simples.
¿Cómo de Rápido Empiezan a Ir Mal las Previsiones? – El Exponente de Lyapunov
El exponente de Lyapunov es una medida de la tasa exponencial de divergencia de trayectorias cercanas.
Vimos que un pequeño cambio en las condiciones iniciales de la ecuación logística dio lugar a trayectorias divergentes después de unas pocas iteraciones. La rapidez con la que estas trayectorias divergen es una medida de nuestra capacidad para pronosticar de forma acertada.
Después de unas pocas iteraciones, las tres trayectorias que hemos visto en el archivo anterior son más o menos similares. Esto sugiere que la predicción a corto plazo puede ser posible. Una predicción de x(n + 1) = 0.75, basándose únicamente en la primera trayectoria, a partir de x(0) = 0.75 servirá razonablemente bien para las otras dos trayectorias, al menos para las primeras iteraciones. Pero, en la iteración 20 los valores de x(n + 1) son muy diferentes entre las tres trayectorias. Esto sugiere que la predicción a largo plazo es imposible en un sistema caótico.
Así que vamos a pensar en el corto plazo. ¿Cómo es de corto? ¿Cómo de rápido las trayectorias divergen debido a pequeños errores de observación, pequeños shocks u otras diferencias de pequeña magnitud? Pues bien, eso es lo que el exponente de Lyapunov nos va a decir.
Denotemos por u el error en nuestra observación inicial, o la diferencia de dos condiciones iniciales. En nuestro ejemplo en Excel podría ser la diferencia entre 0.75 y 0.7499, o entre 0.75 y 0.74999.
Sea R una distancia (positiva o negativa) en torno a una trayectoria de referencia, y supongamos que nos hacemos la pregunta: ¿con qué rapidez una segunda trayectoria que incluye el error e se aleja más allá de la distancia R? La respuesta es la siguiente función del número de pasos (n), y del exponente de Lyapunov (l), de acuerdo con la siguiente ecuación (donde «exp» representa al número e = 2,7182818 …, la base de los logaritmos naturales):
R = u · exp (l·n)
Como veremos en unos momentos, el exponente Lyapunov de la ecuación logística es l = 0.693147. Por lo tanto, en este caso, tenemos que R = u · exp (0.693147·n).
Ejemplo de Cálculo Usando el Exponente de Lyapunov
En la hoja de Excel de la logística se utilizan los valores de 0.75, 0.7499 y 0.74999 como punto de partida. Supongamos que la pregunta que nos hacemos es la siguiente: ¿cuánto tiempo (en qué número de pasos n) nos lleva para salirnos del rango +0.01 o –0.01 de nuestra primera trayectoria (constante) de x(n) = 0.75? Es decir, con un valor de partida ligeramente diferente, ¿cuántos pasos tardaremos en conseguir que el sistema se aleje del intervalo (0.74, 0.76)?
En este caso, tenemos que la distancia R es 0.01. Para la segunda trayectoria, con un valor inicial de 0.7499, el cambio en la condición inicial es u = 0.75 – 0.7499 = 0.0001. Por lo tanto, aplicando la ecuación R = u · exp (l·n), tenemos que:
0.01 = 0.0001 · exp (0.693147n)
Despejando obtenemos que n= 6,64. Si miramos la tabla, veremos que para n = 7 (en la séptima iteración), el valor x(7) es 0.762688, y que este es el primer valor que se ha ido fuera del intervalo (0.74, 0.76).
Del mismo modo, para la tercera trayectoria, con un valor inicial de 0,74999, el cambio en la condición inicial es u = 0.75 – 0.74999 = 0.00001. La aplicación de la ecuación nuevamente nos permite obtener el número de iteración, simplemente basta con despejar n en la expresión:
0.01 = 0.00001 · exp (0,693147n).
De donde obtenemos que n = 9.96. Revisando la tabla vemos que para n = 10 (la décima iteración), tenemos x(10) = 0.739691, y este es el primer valor fuera del intervalo (0.74, 0.76) para esta trayectoria.
En este ejemplo de cálculo, el sistema diverge ya que el exponente de Lyapunov es positivo. Si se diera el caso de que el exponente de Lyapunov fuera negativo, entonces exp (l·n) se iría haciendo cada vez más pequeño en cada iteración con cada paso. Por ello, para que el sistema sea caótico, debe verificarse que l>0.
Asimismo debemos tener en cuenta que la ecuación logística es una ecuación simple con sólo una variable, x(n), por lo que solo tiene un exponente de Lyapunov. En general, un sistema con M variables puede tener hasta M exponentes de Lyapunov. Y diremos que un atractor es caótico si al menos uno de sus exponentes de Lyapunov es positivo.
Claro, seguramente os estéis preguntando cómo se ha obtenido el valor del exponente de Lyapunov en la fórmula anterior. El cálculo es algo más complejo pero para los tengan ciertos conocimientos de análisis matemático les resultará sencillo: para una ecuación f(x(n)) el exponente de Lyapunov no es más que la media de los valores absolutos del logaritmo neperiano de su derivada. Por ejemplo, si calculamos la derivada de ecuación logística con respecto a x(n) obtenemos que es:
f’(x(n)) = 4 – 8x(n)
Ahora deberíamos calcular las sucesivas iteraciones en la segunda trayectoria aplicando esta fórmula, calcular el logaritmo de los resultados obtenidos y hacer la media. Podéis ver cómo hacerlo en detalle en la hoja de cálculo de la logística.
Bien, suficiente por ahora. En el siguiente artículo hablaremos de fractales un poco más, lo que nos conducirá directamente a la Economía y las Finanzas.
(Continuará…)
Saludos,
X-Trader
