La historia de Edward O. Thorp es bastante atípica si la comparamos con la de otros traders legendarios. Nacido en Chicago en 1932, se formó en Matemáticas y Física si bien donde mejor se le conoce es en el mundo del juego profesional por ser el autor en 1962 del libro Beat the Dealer, en el que demuestra matemáticamente que es posible ganar de forma consistente al blackjack contando cartas, eliminando la ventaja de la banca del 5% sobre los jugadores y añadiendo un 1% de ventaja para el jugador, convirtiéndose así en el primer autor que desvelaba públicamente una estrategia ganadora para el blackjack. Previamente Thorp había puesto a prueba en Las Vegas sus teorías: utilizando 10.000$ de capital inicial logró ganar 11.000$ en una semana, cosa que desde luego no gustó para nada a los dueños de los casinos, motivo por el que no le dejaron volver a entrar y que seguramente le llevo a escribir el libro.
Pero sin lugar a dudas, el libro de Thorp más conocido entre los traders es The Mathematics of Gambling, publicado en 1984. Se trata de una recopilación de los artículos que publicó en el la revista Gambling Times y en cuyo último capítulo Thorp señala al criterio de Kelly como el mejor sistema de gestión monetaria. Curiosamente Thorp publicó otro libro en 1967 mucho más relacionado con el trading y a la vez casi desconocido, titulado Beat the Market en el que explicaba una estrategia de cobertura. Por supuesto, actualmente está descatalogado y se vende de segunda mano por más de 300$.
A finales de los 60 el campo de estudio de Thorp pasó a ser el de los mercados financieros, en los que buscaba y explotaba las anomalías que detectaba, lo que le permitió amasar una auténtica fortuna y crear su propio hedge fund, denominado Princeton/Newport Partners. Y está claro que sus resultados demostraban que el juego y el trading no son tan diferentes, ya que Thorp ha conseguido una rentabilidad del 20% anual de media durante 28 años.
Si adaptamos la terminología del juego al trading, para Thorp aunque un trader descubra una estrategia ganadora (es decir, con esperanza matemática positiva), el método que siga para determinar el tamaño de las posiciones determinará en gran medida su éxito o su fracaso, ya que en definitiva nuestro capital es limitado. Así, si arriesgamos todo nuestro capital en una operación, podemos perderlo todo mientras que si somos demasiado conservadores estaremos limitando nuestras posibilidades de obtener excelentes rendimientos. Afortunadamente, existe una teoría matemática para asignar recursos en juegos con esperanza matemática positiva.
Para definir un sistema de gestión monetaria, Thorp parte del supuesto de que todos los resultados que podemos obtener con una estrategia son a priori equiprobables (esto es, no hay sesgos en nuestra estrategia). Esto es, vamos a considerar que nuestras operaciones son una sucesión de fenómenos aleatorios independientes. Este supuesto no es tan disparatado como puede parecer en un principio: técnicamente dos operaciones, ya sean consecutivas o no, normalmente no deberían estar correlacionadas.
Asimismo Thorp también considera que el tamaño de nuestras posiciones está acotado entre dos valores, por ejemplo, podemos abrir una posición cuyo valor oscila entre 1 y 1000 euros. De hecho, esto es lo que hacen los casinos: delimitar el tamaño mínimo y máximo de las apuestas para impedir que cualquiera pueda ganar a la banca doblando sus apuestas.
En el trading la situación sería muy parecida: ningún trader dispone de capital infinito; si así fuera, ganaría siempre. Si fuéramos a apostar a un casino que no tiene límites para el tamaño de las apuestas, nos encontraríamos ante una situación en la cual, si llegaramos a la décima pérdida consecutiva, en la ronda nº 11 debería apostar 1024 veces la cantidad inicial, aunque la probabilidad de que esto suceda es pequeña, del orden del 0.16%. Y no digamos ya si tuviéramos 36 rondas consecutivas y hubiéramos empezado con 1000 €: en esa ronda tendríamos que apostar 34 billones de euros!!!
No obstante, es posible utilizar sistemas en los que se dobla la posición pero a cambio el coste será que cuando vayamos a doblarnos en posteriores operaciones, no seremos capaces de recuperar las pérdidas acumuladas ya que nuestro capital estará al límite. Y lo que es peor de todo, aunque doblemos nuestras posiciones cada vez que perdamos, no aumentaremos nuestra ventaja frente al mercado.
En general sabemos que gestionar nuestras operaciones al estilo de una martingala (doblando posiciones) nunca llega a buen término. Sin embargo, ¿qué criterios podemos utilizar para deshechar otras formas de gestión monetaria antes de que nos arruinen? Thorp señala los siguientes requisitos que debe cumplir nuestro estilo de gestión monetaria:
- Cada operación individual no puede tener esperanza matemática negativa a priori (de lo contrario estaríamos operando con un sistema perdedor de entrada).
- El sistema debe tener en cuenta el capital del que disponemos (de tal forma que doblarse infinitamente sea la fórmula para hacernos ricos).
- El resultado obtenido en cada operación no puede influir en el resto de operaciones.
- Existe un tamaño mínimo para abrir posición.
En el momento que no se verifique alguna de estas reglas, es muy probable que el trader pierda dinero a largo plazo; incluso es posible que nunca vuelva a ver su capital inicial.
Bien, ya tenemos unos criterios para deshechar estrategias de gestión monetaria que no funcionan. Veamos ahora cuál es la estrategia de gestión monetaria que sí funciona para Thorp. Para ello veamos el siguiente ejemplo: supongamos que jugamos lanzando una moneda al aire en la que la probabilidad de sacar cara es del 52%. Evidentemente al conocer esta información tenemos ventaja en este juego frente a nuestro adversario. Asimismo supongamos que tenemos 200 € de capital inicial.
¿Cuánto debemos apostar en cada tirada? Quizás lo mejor sea jugar sobre seguro y apostar un céntimo en cada tirada. De esta forma nunca perderíamos nuestro capital pero nuestra ganancia esperada sería de 0.004 céntimos por tirada. Desde luego no estaríamos aprovechando demasiado nuestra ventaja…
Pasemos al extremo opuesto: apostamos todo nuestro capital en una tirada. Ahora la ganancia esperada es de 8 € siendo esta cantidad lo máximo que podremos obtener en una tirada. Pero con que perdamos una sóla vez estaremos fuera de juego.
La respuesta a este problema la dió J.L. Kelly, compañero de trabajo de Thorp en AT&T y es la siguiente: suponiendo que el jugador recibe la misma cantidad que apuesta, deberemos apostar una fracción del capital igual a la diferencia de probabilidades de éxito y fracaso, en nuestro ejemplo 52% – 48% = 4%. En realidad el resultado obtenido por Kelly se basaba en el trabajo realizado por Claude Shannon, muy conocido por su teoría de la información y también compañero de trabajo de Thorp.
Este criterio fue adaptado al trading posteriormente y se reformuló de la siguiente forma:
Donde:
W = Porcentaje de operaciones ganadoras.
R = Ratio de Ganancia Media sobre Pérdida Media.
La idea que subyace detrás del criterio es que si el dinero fuera divisible infinitamente, entonces la probabilidad de perder todo nuestro dinero apostando sería cero, ya que aunque perdamos siempre, todavía nos quedará dinero para seguir apostando. Por supuesto en la práctica, dado que trabajamos con dinero real y tenemos una cantidad mínima que utilizar para abrir una posición, el criterio de Kelly nos permite minimizar la posibilidad de perder todo nuestro capital pero no nos lo garantiza. Otra de las ventajas del criterio de Kelly es que si alguien utiliza un sistema de gestión monetaria diferente al nuestro, su capital crecerá más despacio que el nuestro jugando al mismo juego. De hecho, a largo plazo nuestro capital superará al del adversario en una proporción fija. Finalmente, la tercera ventaja del criterio de Kelly es que en media permite alcanzar un determinado nivel de ganancias en el menor tiempo posible.
Sin embargo, aunque Thorp no lo comenta en sus libros, el criterio de Kelly tiene algunas desventajas: en algún momento de la serie de jugadas (o de operaciones) sucederá que tendremos una probabilidad del 50% de perder el 50% del capital que nos quede, o una probabilidad del 40% de perder el 40% del capital, etc. Asimismo utilizar este criterio implica que existe una probabilidad de 1/3 de perder la mitad del capital inicial antes de que lo doblemos, por lo que una variante que reduce la volatilidad de los resultados es arriesgar la mitad de lo que se obtiene con el criterio de Kelly, ya que obtendríamos las tres cuartas partes de la rentabilidad pero con menos volatilidad. Por el contrario, apostar una cantidad mayor que lo que sugiere el criterio de Kelly es contraproducente ya que el crecimiento del capital a largo plazo se reduce en el largo plazo, llegando incluso a cero si nos atrevemos a doblar la cantidad sugerida por Kelly.
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