Louis Bachelier Visita el NYSE Imaginemos que resucitamos a Louis Bachelier, el cual acompañado de un guía angelical llamado Pete visita la Bolsa de Nueva York. Si bien al principio se sentía algo desconcertado, una vez en el parquet de Wall Street comenzó a sentirse como en casa: compras, ventas, variaciones en los precios. Lo único que había cambiado es que ahora las pizarras eran electrónicas en lugar de tener que usar tizas
Bachelier fue desconcertado por toda la conversación, pero una vez que llegamos dentro y vio al piso de negociación, que se sentía como en casa. Compra, venta, cambios en los precios. Las tablas de tiza eran ahora eléctrica, vio, y que hacen que el aire mucho más fresco.
«Mira,» exclamó Bachelier, «¡el Dow Jones de Industriales todavía existe!»
«Sí», asintió Pete, «pero hay un montón de índices nuevos como el S&P 500 y NYSE Composite.»
«¡Quiero algunos números!» exclamó Bachelier con entusiasmo. Antes de marcharse, se las arreglaron para que alguien les diera los precios de cierre del NYSE Composite para los últimos 11 días.
«Puedes hasta escribir un libro», dijo Pete. «Llámalo Once Días de Mayo. Los títulos apocalípticos están de moda, excepto en la Bolsa.»
Bachelier no le había prestado atención. En su lugar, había tomado papel y lápiz y estaba intentando calcular logaritmos a través de un desarrollo en serie. Pete observó en silencio durante un rato, antes de apiadarse de él y sacar una calculadora de bolsillo.
La Escala de Bachelier para los Precios de las Acciones He aquí los datos de Bachelier de once días en mayo. Tenemos la fecha del calendario en la primera columna de la tabla; el precio de cierre del NYSE Composite Average, S(t), en la segunda columna; el logaritmo de S(t) en la tercera columna; la variación en el logaritmo de los precios, x(t) = log S(t) – log S(t-1) en la cuarta columna; y x(t)2 en la última columna.
¿Qué significa todo esto?
Los valores de x(t), que son las variaciones en el logaritmo de los precios es lo que realmente interesaba a Bachelier por su teoría del movimiento browniano aplicado a la Bolsa de valores.
Bachelier considera que estos deben tener una distribución Normal. Recordemos que tal y como vimos en nuestro artículo anterior,una distribución Normal tiene un parámetro de localización m y un parámetro de escala c. Lo que está intentando hacer Bachelier es tratar de averiguar los valores de m y c, suponiendo que se mantienen constantes de un día para otro.
El parámetro de localización m es fácil de calcular. Es cero, o muy cercano a cero.
De hecho, no es exactamente cero. Esencialmente hay una deriva en el movimiento del índice bursátil S(t), dada por la diferencia entre los tipos de interés y la rentabilidad de los dividendos de las acciones que componen el índice. Sin embargo, dicha deriva es pequeña en los 11 días que estamos analizando, así que Bachelier simplemente suponer que m es cero.
Por tanto Bachelier lo que desea realmente es estimar c. Como vimos en la segunda parte de la serie, si el precio de cierre de hoy es P, Bachelier modelizó el intervalo de probabilidad en torno al logaritmo de la variación de los precios mediante:
(log P – aT0.5, log P + aT0.5) para una constante dada a.
O, si utilizamos la notación actual, tendríamos que Bachelier está interesado en el intervalo de probabilidad:
(log S – cT0.5, log S + cT0.5) para un parámetro de escala dado c.
Una forma de estimar la magnitud c (también llamada la «desviación estándar» en el contexto de la distribución Normal) es sumar todos los valores al cuadrado de x(t), y tomar la media (dividiendo por el número de observaciones). Esto nos da una estimación de la varianza, o c2. A continuación, simplemente tomamos la raíz cuadrada para obtener el parámetro de escala c.
La suma de los términos en la columna de la derecha en la tabla nos da un valor de 0,001229332. Y hay 10 observaciones por lo que la varianza es:
Varianza = c2 = 0,001229332 / 10 = 0,0001229332.
Tomando la raíz cuadrada de esto, tenemos:
Desviación estándar = c = (0,0001229332)0,5 = 0,0110875.
Por lo que el intervalo de probabilidad de Bachelier para el logaritmo de S se convierte en:
(log S – .0110875 T0.5, log S + .0110875 T0.5)
Para obtener el intervalo de probabilidad para el precio en sí, S, basta con aplicar potencias exponenciales tal que:
(S·exp(– .0110875 T0.5), S·exp(.0110875 T0.5)
Dado que el precio actual el 28 de mayo, a partir de la tabla, es 622,26, este intervalo se convierte en:
«Esta expresión para el intervalo de probabilidad nos dice cuál es la distribución de probabilidad para los próximos T días,» Bachelier explicó a Pete, el cual apenas mostraba ya interés por cualquier cosa que le contara Louis.
Durante los próximos 10 días de negociación, tenemos T0.5 = 100.5 = 3,162277. Sustituyendo ese valor en el intervalo de probabilidad para el precio, obtenemos:
Este intervalo de probabilidad nos proporciona un rango de precios. Para la distribución Normal, ese intervalo se corresponde con el 68 por ciento de probabilidad. Esto es, con un 68 por ciento de probabilidad, el precio estará entre 600,82 y 644,46 al final de los próximos 10 días de negociación.
Para obtener un intervalo de probabilidad del 95 por ciento, utilizaríamos +/-2c tal que:
(622.26 exp(– (2 x .0110875 T0.5), 622.26 exp( (2 x .0110875 T0.5))
Lo que nos da un intervalo de precios para los próximos 10 días de negociación de (580,12, 667,46).
Volatilidad En los mercados financieros, el parámetro de escala c es a menudo llamado «volatilidad». Y dado que se suele suponer que usamos una distribución Normal, «volatilidad» hace referencia a la desviación estándar.
El valor de c que hemos obtenido, c = 0.0110875, se calculó usando 10 días de negociación, por lo que diríamos que es «una volatilidad histórica de 10 días.» Si se calcula usando 30 días de negociación, sería «una volatilidad histórica de 30 días.»
Sin embargo, lo habitual es hablar de la volatilidad en los mercados:
En términos anuales (no diarios)
En términos porcentuales (no absolutos)
Para expresar nuestra volatilidad diaria c = .0110875 en términos anuales, debemos tener en cuenta que existen alrededor de 256 días de negociación en el año. La raíz cuadrada de 256 es 16, por lo que para cambiar expresar la volatilidad diaria en términos anuales, simplemente debemos multiplicarla por 16 tal que:
c anual = 16 (c diaria) = 16 (0,0110875) = 0,1774
Lo cual en términos porcentuales es un 17.74%.
Es decir, el índice NYSE Composite tenía una volatilidad histórica del 17,74% respecto al período de la muestra durante el mes de mayo.
Obsérvese que una volatilidad anual del 16 por ciento se corresponde con una volatilidad diaria de 1 por ciento. Esta es una relación útil que debemos recordar, porque podemos mirar a un precio o índice, mentalmente dividir su valor por 100, y decir que el cambio en el precio caerá en el rango de +/- esa cantidad con 2/3 de probabilidad (aproximadamente). Por ejemplo, si la volatilidad actual del oro es del 16 por ciento, y el precio está a $1.000, podemos decir que la variación de precios de la próxima sesión caerá en el rango de más o menos $10,00 con aproximadamente 2/3 de probabilidad.
Asimismo, 256 días de negociación nos dan un intervalo de probabilidad que es sólo 16 veces más grande que el intervalo de probabilidad para 1 día. Esto se traduce en una dimensión de Hausdorff temporal (en el cálculo de probabilidades) de D = log (16) / log (256) = 0.5, que es sólo la ley de la raíz cuadrada del tiempo de Bachelier-Einstein.
La forma en que se calculó la escala c se llama «volatilidad histórica,» porque hemos utilizado los datos históricos reales para estimar c. En los mercados de opciones, hay otro indicador de la volatilidad, llamado «volatilidad implícita.» La volatilidad implícita se calcula despejando su valor de la fórmula de valoración de una opción. De ahí que esta volatilidad, que se refiere al futuro (en concreto, a la futura vida de la opción) esté implícita en el precio al que se negocia la opción.
Sumas Fractales de Variables Aleatorias Vamos ahora a la parte divertida. Consideremos la variable aleatoria x(t), la cual representa las variaciones del logaritmo de los precios. Bajo el supuesto de que estas variables aleatorias se distribuyeran como una Normal, hemos estimado un parámetro de escala c, lo que nos permite hacer cálculos de probabilidad.
Con el fin de estimar c, tomamos una suma de variables aleatorias (en este caso, la suma de los cuadrados de x(t)). ¿Son nuestros cálculos válidos y adecuados? ¿Tienen algún sentido? La respuesta a estas preguntas depende de cómo consideremos que es la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias. ¿Cómo se relaciona la distribución de la suma con las distribuciones de las variables aleatorias individuales que hemos sumado?
Para responder a esta pregunta, debemos centrarnos en la forma en que obtenemos el parámetro de localización m, y el parámetro de escala c. Como ya vimos en la entrega anterior, para la distribución Normal, m es la media, pero para la distribución de Cauchy no existe la media («es infinita»). Para la distribución Normal, el parámetro de escala c es la desviación estándar, pero para la distribución de Cauchy no existe dicha desviación. Sin embargo, existen para la distribución de Cauchy existen ambos parámetros. El estimador de máxima verosimilitud para c no será el mismo en el caso de la distribución de Cauchy como lo fue para la Normal. No podemos tomar los cuadrados de la variable aleatoria si x (t) tienen una distribución de Cauchy.
Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi, todas con la misma distribución, y se calcula su suma, que denotaremos por X tal que:
X = X1 + X2 + … + Xn-1 + Xn
¿La distribución de la suma X tienen una forma sencilla? En particular, ¿podemos relacionar la distribución de X con la distribución común a cada Xi? Dicho de otro modo, si cada uno de los Xi tiene un parámetro de escala c y un parámetro de localización m, ya sea la distribución Normal, de Cauchy u otra cualquiera, ¿podemos traducir esa información a un parámetro de localización y otro de escala la suma X?
La respuesta a todas estas preguntas es sí, para una clase de distribuciones denominadas distribuciones estables, también denominadas «Levy estables», «Pareto-Levy», o «distribuciones estables de Pareto estables. Tanto la Normal como la distribución de Cauchy son distribuciones estables. Pero hay muchos más.
Vamos a utilizar el operador “~” para indicar que algo tiene la misma distribución que otra cosa. Por ejemplo, X1 ~ X2 significa que X1 y X2 tienen la misma distribución. Ahora usaremos ese operador en la siguiente definición de distribuciones estables:
Diremos que una variable aleatoria X tiene una distribución estable si para cualquier n>=2, hay un número positivo Cn y un número real Dn tal que:
X1 + X2 + … + Xn-1 + Xn ~ CnX + Dn
Donde X1, X2, …, Xn son todas copias independientes de X.
Reflexionemos acerca de esta definición. Si su distribución es estable, entonces la suma de n variables aleatorias distribuidos idénticamente tiene la misma distribución que cualquiera de ellas, excepto por la multiplicación por un factor de escala Cn y un factor de localización Dn.
¿Le recuerda esto a los fractales? Los fractales son objetos geométricos que tienen el mismo aspecto en diferentes escalas. Aquí tenemos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad tienen el mismo aspecto en diferentes escalas (excepto por el factor Dn).
Vamos a plantear dos definiciones adicionales: por un lado, diremos que una variable aleatoria X es estrictamente estable si Dn=0.
Por tanto, las distribuciones estrictamente estables son claramente de naturaleza fractal, porque la suma de n copias independientes de la distribución subyacente es exactamente la misma que la propia distribución subyacente, una vez ajustada por el factor de escala Cn. Un tipo de distribuciones estrictamente estables son las distribuciones simétricas.
Asimismo, diremos que una variable aleatoria X es simétrica estable si su distribución es simétrica, es decir, si X y -X tienen la misma distribución. El parámetro de escala Cn tiene necesariamente la forma:
Cn = n1/a, donde 0 <a <= 2.
Así que si tenemos n copias independientes de una distribución estable simétrica, su suma tiene la misma distribución con una escala que es n1/a veces más grande.
Para la distribución Normal o gaussiana, a = 2. Así que para n copias independientes de una distribución Normal, su suma tiene una escala que es n1/a = n1/2 veces más grande.
Para la distribución de Cauchy, a = 1. Así que para n copias independientes de una distribución de Cauchy, su suma tiene una escala que es n1/a = n1/1 = n veces mayor.
Si, por ejemplo, las partículas del movimiento browniano tienen una distribución de Cauchy, estas no escalarían de acuerdo con una ley T0.5, sino según ¡una ley T!
Obsérvese que también podemos calcular una dimensión de Hausdorff para distribuciones simétricas estables. Si dividimos una variable aleatoria simétrica estable X por un factor de escala de c = n1/a, obtendremos la probabilidad equivalente de N = n copias de X/n n1/a. Así que la dimensión de Hausdorff es:
D = log N / c = log n / log ( n1/a) = a
Esto nos da una interpretación simple de a: se trata simplemente de la dimensión de Hausdorff de una distribución estable simétrica. Para la Normal, la dimensión de Hausdorff es igual a 2, equivalente a la de un plano. Para la distribución de Cauchy, la dimensión de Hausdorff es igual a 1, equivalente a la de una línea. Entre medias hay una gama completa de valores, incluyendo distribuciones simétricas estables con dimensiones de Hausdorff equivalentes a la curva de Koch (log 4 / log 3) y la alfombra de Sierpinski (log 8 / log 3).
Pero ¿qué utilidad tiene todo esto? Lo veremos en la próxima entrega en la que, aunque no se lo crean, relacionaremos todos estos conceptos con la serie de Fibonacci.
